（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式及

Question

（2013•徐汇区二模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；                        
（2）如图2，连接CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；   
（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．

Answer 1

（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．
由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝√(2)x；
∵∠CAB=90°，∠QAP=45°，
∴∠CAD=45°，
∵DM⊥AC，
∴△DAM是等腰直角三角形，
易得△CMD∽△CAB，
∴(CM)/(DM)＝(CA)/(AB)＝(3)/(4)；
设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=(3)/(7)，DM＝AM＝(12)/(7)，
∴AD＝(12)/(7)√(2)，
∴y＝√(2)x−(12)/(7)√(2)．
定义域是：(12)/(7)≤x≤4．
（注：其它解法参照评分．）

（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3． 
②当∠QCD=∠QAB时，
∴(CD)/(AD)＝(QD)/(BD)，
由上述（1）的解法，可得CD＝(15)/(7)，BD＝(20)/(7)，
∴(12)/(7)√(2)y＝

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问题解析

（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．

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