（2011•绵阳）已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；（3

Question

（2011•绵阳）已知抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）²-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x²-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=x_D-x_B=1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=√(2)．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=√(2)．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形；

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x轴于M．
∵∠P₁EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P₁EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，
则(P1M)/(EM)＝(OE)/(OF)＝(1)/(3)，即EM=3P₁M．
∵EM=x₁+1，P₁M=y₁，
∴x₁+1=3y₁①
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C′上，
则有3（x₁²-2x₁-3）=x₁+1，
整理得，3x₁²-7x₁-10=0，解得，
x1＝(10)/(3)，或x₂=-1（舍去）
把x1＝(10)/(3)代入①中可解得，
y₁=(13)/(9)．
∴P₁（(10)/(3)，(13)/(9)）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，
得(FN)/(P2N)＝(OE)/(OF)＝(1)/(3)，即P₂N=3FN．
∵P₂N=x₂，FN=3+y₂，
∴x₂=3（3+y₂）②
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C′上，
则有x₂=3（3+x₂²-2x₂-3），
整理得3x₂²-7x₂=0，解得x₂=0（舍）或x2＝(7)/(3)．
把x2＝(7)/(3)代入②中可解得，
y2＝−(20)/(9)．
∴P₂（(7)/(3)，−(20)/(9)）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（(10)/(3)，(13)/(9)）或（(7)/(3)，−(20)/(9)）．