高中数学直线方程16、已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2,（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小

Question

高中数学直线方程
16、 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2,（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值. 第二问开始

Answer 1

设AB中点为M（x,y)
x=a/2,y=b/2
a=2x,b=2y
(2x-2)(2y-2)=2
即(x-1)(y-1)=1/2（2x>2,x>1)
s=1/2ab=
因为(a-2)(b-2)=2
ab-2(a+b)+4=2
ab=2(a+b)-2>=2*2(ab)^(1/2)-2
设(ab)^(1/2）=t t^2-4t+2>=0 ab>4 t>2 解得t>=2+根号2
ab>=(2+根号2）^2
s最小值=1/2(2+根号2）^2=3+2根号2