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如图,△OAB中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(2,2),点P从点A出发,沿A→B→O的方向以每秒2个单位匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以每秒2个单位匀速运动,当点P

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如图,△OAB中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(2,2),点P从点A出发,沿A→B→O的方向以每秒
2
个单位匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以每秒2个单位匀速运动,当点P到达点O时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)设△OPQ的面积为S(平方单位),求当点P在AB上运动时,S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(3)当点P沿A→B→O的方向运动时,试问:是否存在点P使∠OPQ=90°?如果存在,请求出相应的时间t;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)过B作BE⊥OA于E
∵B(2,2),则BE=OE=2
由勾股定理得:OB=2
2

∵A(4,0),∴AE=2
由勾股定理得,AB=2
2

∴OB=AB
∴△ABO为等腰三角形
∴OB2=8,AB2=8,OA2=16
∴OB2+AB2=OA2
∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°;

(2)过点P作PC⊥OA于点C,
∴PC=AC                
在Rt△PCA中,AP=
2
t由勾股定理得
AC2+PC2=AP2
∴AC=t
∴OC=4-t
∵OQ=2+2t
∴S=
1
2
(4-t)(2+2t)
即S=-t2+3t+4 (0≤t≤4);

(3)分类讨论:
①当点P在AB上运动t秒时,则∠OPQ=90°作PF⊥OA于F.
∴∠OFP=90°
∴∠AOP+∠OPF=90°
∵∠AOP+∠QOP=90°
∴∠OPF=∠QOP
∴△PFO∽△OPQ
PF
OP
=
OP
QO

∵PA=
2
t,∴PF=AF=t,OQ=2+2t
∴OF=4-t,由勾股定理得
OP=
t2+(4-t)2

∴t2+(4-t)2=t2+(2+2t)2
解得t=1.6.
②当点P运动t秒在OB上时,则∠OPQ=90°则△OQP是等腰直角三角形.(t>2)
∴OP=PQ
∵OP<2
2

∴OP+PQ<4
2

∵OQ=2+2t  (t>2)
∴2+2t>4
2

∴两边之和小于第三边,此三角形不存在.