（12分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.（1）求证：FM1⊥FN1；（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、、，试

Question

（12分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.
（1）求证：FM1⊥FN1；
（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为 、 、 ，试判断S =4 是否成立，并证明你的结论.

Answer 1

（1）略
（2）略

（1）证法一：由抛物线的定义得|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|.
∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F.
如图，设准线l与x轴的交点为F1.
∵MM1∥NN1∥FF1，
∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F.
而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠NFN1=180o，
即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180o，
∴∠F1FM1+∠F1FN1=90o，
即∠M1FN1=90o，故FM1⊥FN1.
证法二：依题意，焦点为F( ,0)，准线l的方程为x=－ .
设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为x=my+ ,则有M1(－ ,y1)，N1(－ ,y2)， =(－p,y1), =(－p,y2).
由
于是，y1+y2=2mp，y1y2=－p2.
∴ · =p2+y1y2=p2－p2=0，故FM1⊥FN1.
（2）S =4S1S3成立，证明如下：
证法一：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直线l与x轴的交点为F1，则由抛物线的定义得
|MM1|=|MF|=x1+ , |NN1|=|NF|=x2+ . 于是
S1= ·|MM1|·|F1M1|= (x1+ )|y1|，
S2= ·|M1N1|·|FF1|= p|y1－y2|，
S3= ·|NN1|·|F1N1|= (x2+ )|y2|，
∵S =4S1S3 ( p|y1－y2|)2
=4× (x1+ )|y1|· (x2+ )·|y2| p2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+ (x1+x2)+ ]·|y1y2|.
将 与 代入上式化简可得
p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立. 故S =4S1S3成立.