(本小题满分12分)已知函数f(x)=x∈［0，2］.（1）求f(x)的值域；（2）设a≠0函数g(x)=ax3-a2xx∈［0，2］.若对任意x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.

Question

(本小题满分12分)已知函数f(x)= x∈［0，2］.

（1）求f(x)的值域；

（2）设a≠0 函数g(x)=ax³-a²x x∈［0，2］.若对任意x₁∈［0，2］，总存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求实数a的取值范围.

 

Answer 1

解（1） 对函数f(x)求导，f′(x)=·.

令f′(x)=0 得x=1或x=-1.

当x∈(0 1)时，f′(x)＞0 f(x)在(0 1）上单调递增；

当x∈(1 2)时，f′(x)＜0 f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0 f(1)= f(2)=

∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是.

(2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A.

∵对任意x₁∈［0，2］，总存在x₀∈［0，2］，

使f(x₁)-g(x₀)=0 ∴A.

对函数g(x)求导，g′(x)=ax²-a².

①当x∈(0 2) a＜0时，g′(x)＜0

∴函数g(x)在（0，2）上单调递减.

∵g(0)=0 g(2)=a-2a²＜0

∴当x∈［0，2］时，不满足A；

②当a＞0时，g′(x)=a(x-)(x+).

令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）.

（ⅰ)当x∈［0，2］，0＜＜2时，列表：

∵g(0)=0 g()＜0

又∵A，∴g（2）=≥.

解得≤a≤1.

 (ⅱ)当x∈(0 2) ≥2时，g′(x)＜0

∴函数在（0，2）上单调递减，

∵g（0）=0，g（2）=＜0

∴当x∈［0，2］时，不满足A.

综上，实数a的取值范围是.