已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．（1）尺规作图：以AC边为直径，作O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；（2）连结DE，求证：DE为O的切线；（3）若AD

Question

已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC边为直径，作 O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；
（2）连结DE，求证：DE为 O的切线；
（3）若AD=4，BD=(9)/(4)，求DE的长．

Answer 1

（1） 如图1，

（2）证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC边为直径，
∴∠ADC=90°，
而E为BC边中点，
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，
∴DE=EC=BE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为 O的切线；
（3） ∵∠DBC=∠CBA，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+(9)/(4)）=(9)/(4)：BC，
∴BC=(15)/(4)，
∴DE=(1)/(2)BC=(15)/(8)．