如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的

Question

如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是 O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2） ①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC2+BC2)=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴(DC)/(DB)=(AC)/(BC)=(DA)/(CD)=(3)/(4)，
∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴(EC)/(FB)=(DC)/(DB)=(3)/(4)，设EC=CF=x，
∴(x)/(4-x)=(3)/(4)，
∴x=(12)/(7)．
∴CE=(12)/(7)．