如图,四边形ABCD中,AD‖BC,AD=DC=BC,连结AD的中点E和AB的中点O,交CB的延长线于F.（1）求证：四边形ABCD是菱形.（2）求证BF=DE（3）连结AC、BD,猜想EO与AC、EO与BD的关系,并证明你的猜想.（4）若AC=6,BC=5

Question

如图,四边形ABCD中,AD‖BC,AD=DC=BC,连结AD的中点E和AB的中点O,交CB的延长线于F.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）求证BF=DE
（3）连结AC、BD,猜想EO与AC、EO与BD的关系,并证明你的猜想.
（4）若AC=6 ,BC=5,求菱形ABCD的面积

Answer 1

(1)证明：因为AD平行BC
因为AD=BC
所以四边形ABCD是平行四边形
因为AD=DC
所以四边形ABCD是菱形
（2）证明：因为AD平行BC
所以角OAE=角OBF
角OFB=角OEA
因为O是AB的中点
所以OA=OB
所以三角形OAE和三角形OBF全等（AAS)
所以AE=BF
因为E是AD的中点
所以AE=DE
所以BF=DE
(3)EO垂直AC
EO平行BD且EO=1/2BD
证明：因为ABCD是菱形
所以AC垂直BD
因为E是AD的中点,O是AB的中点
所以OE是三角形ABD的中位线
所以EO平行BD
EO=1/2BD
EO垂直AC
(4)设AC,BD相交于点G
因为ABCD是菱形
所以AC,BD互相垂直平分
所以AG=GC=1/2AC
BG=GD=1/2BD
菱形的面积=1/2*AC*BD
角BGC=90度
因为AC=8 BC=5
所以由勾股定理得：BG^2+GC^2=BC^2=(1/2BD)^2+(1/2AC)^2=BC^2
所以BD=8
所以菱形ABCD的面积=1/2*6*8=24