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(2013•河池)如图(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M.(1)求证:△ABD≌△FBC;(2)如图(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面
题目详情
(2013•河池)如图(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M.
(1)求证:△ABD≌△FBC;
(2)如图(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面积;
(3)在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2+b2.在任意△ABC中,c2=a2+b2+k.就a=3,b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).
(1)求证:△ABD≌△FBC;
(2)如图(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面积;
(3)在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2+b2.在任意△ABC中,c2=a2+b2+k.就a=3,b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABFG、BCED是正方形,
∴AB=FB,CB=DB,∠ABF=∠CBD=90°,
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC,
即∠ABD=∠CBF,
在△ABD和△FBC中,
,
∴△ABD≌△FBC(SAS);
(2)连接FD,设CF与AB交于点N,
∵△ABD≌△FBC,
∴AD=FC,∠BAD=∠BFC,
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-(∠BFC+∠BNF)=180°-90°=90°,
∴AD⊥CF,
∵AD=6,
∴FC=AD=6,
∴S四边形AFDC=S△ACD+S△ACF+S△DMF-S△ACM,
=
AD•CM+
CF•AM+
DM•FM-
AM•CM,
=3CM+3AM+
(6-AM)(6-CM)-
AM•CM,
=18;
(3)∵在△ABC中,设BC=a=3,AC=b=2,AB=c,
∴a-b<c<a+b,即1<c<5,
∴1<c2<25,即1<a2+b2+k=13+k<25,
解得:-12<k<12.
∴AB=FB,CB=DB,∠ABF=∠CBD=90°,
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC,
即∠ABD=∠CBF,
在△ABD和△FBC中,
|
∴△ABD≌△FBC(SAS);
(2)连接FD,设CF与AB交于点N,
∵△ABD≌△FBC,
∴AD=FC,∠BAD=∠BFC,
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-(∠BFC+∠BNF)=180°-90°=90°,
∴AD⊥CF,
∵AD=6,
∴FC=AD=6,
∴S四边形AFDC=S△ACD+S△ACF+S△DMF-S△ACM,
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=3CM+3AM+
1 |
2 |
1 |
2 |
=18;
(3)∵在△ABC中,设BC=a=3,AC=b=2,AB=c,
∴a-b<c<a+b,即1<c<5,
∴1<c2<25,即1<a2+b2+k=13+k<25,
解得:-12<k<12.
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