在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？

Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．

Answer 1

（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC=∠BCE；
在△DAC与△ECB中，
∵

∠DAC＝∠BCE

∠D＝∠E

AC＝BC

，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=AD+BE．


（2）如图2，（1）中的结论不成立；
新的结论为：DE=AC-BE；
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC=∠BCE；
在△ACD与△CBE中，
∵

∠DAC＝∠ECB

∠ADC＝∠CEB

AC＝BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AC=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AC-BE；
即DE=AC-BE．