如图，点E、M分别是正方形ABCD边的AB、CD上的动点，连结DE，过M作MF⊥DE于H，交AD于点F．（1）如图1，当点M与点C重合，点E与点A、B不重合时．①求证：△DAE≌△CDF；②连结BH，当点E运动到什么

Question

如图，点E、M分别是正方形ABCD边的AB、CD上的动点，连结DE，过M作MF⊥DE于H，交AD于点F．

（1）如图1，当点M与点C重合，点E与点A、B不重合时．
①求证：△DAE≌△CDF；
②连结BH，当点E运动到什么位置时，BH=BC？
（2）如图2，若正方形ABCD边长为3cm，点E从点A出发，以1.5cm/秒的速度沿边AB向点B运动，同时，点M从点C出发，以1cm/秒的速度沿边CD向点D运动．设运动时间为t秒（0<t<2），否存在这样的t，使CM=DF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CDH+∠FCD=90°，
∴∠ADE=∠FCD，
∴△DAE≌△CDF（ASA）；         
②如图2，延长DE交CB的延长线于G，
若BH=BC，
则∠BCH=∠BHC，
∵∠CHG=90°，
∴∠G+∠BCH=90°，
∠GHB+∠BHC=90°，
∴∠G=∠GHB，
∴BG=BH=BC=AD，
∵∠A=∠ABG=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠G，
∴△DAE≌△GBE（ASA），
∴AE=BE，
∴当E运动到中点时，BH=BC；
（2）存在，
如图3，由题意得：AE=1.5t，CM=t，则DM=3-t，
∵∠ADE=∠FMD，
∠A=∠FDC，
∴△ADE∽△DMF，
∴(DF)/(DM)=(AE)/(AD)，
∴(DF)/(3-t)=(1.5t)/(3)，
∴DF=(t)/(2)(3-t)，
若CM=DF，
则t=(t)/(2)(3-t)，
解得t₁=1，t₂=0（舍），
∴当t=1时，CM=DF．