如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP的最小值为（）A.2B.27C.4D.42

Question

如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP的最小值为（　　）

A. 2

B. 2

√(7)

C. 4

D. 4

√(2)

Answer 1

连接BE，与AD交于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对应点为点B，
∴BE就是EM+CM的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点P重合，
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴P为AD的中点，
∴PE是△ADF的中位线，
∴DF=2PE，
∴BE=2DF=4PE，
∴BE=(4)/(3)BP．
在直角△BDM中，BD=(1)/(2)BC=3，DP=(1)/(2)AD=(3√(3))/(2)，
∴BP=√(BD2+DP2)=(3√(7))/(2)，
∴BE=(4)/(3)×(3√(7))/(2)=2√(7)．
∵EP+CP=BE
∴EP+CP的最小值为2√(7)．
故选B．