如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=3：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2=PB•EF；③PF•EF=2AD2；④EF•EP=4AO•PO．其中正确

Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=√(3)：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF²=PB•EF；③PF•EF=2AD²；④EF•EP=4AO•PO．其中正确的是（　　）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．③④

Answer 1

设AD=√(3)x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=√(3)x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=(√(3))/(3)x，BP=(2√(3))/(3)x．
∵E为DC的中点，
∴CE=(1)/(2)CD=x，
∴tan∠CEP=(PC)/(EC)=((√(3))/(3)x)/(x)=(√(3))/(3)，tan∠EBC=(x)/(√(3)x)=(√(3))/(3)，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴(BE)/(EF)＝(BP)/(BF)，
∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴②BF²=PB•EF．故②正确；
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=(4√(3))/(3)x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2√(3)x，
∴PF•EF=(4√(3))/(3)x•2√(3)x=8x²，
2AD²=2×（√(3)x）²=6x²，
∵6x²≠8x²，
∴PF•EF≠2AD²，故本答案错误；
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=(2√(3))/(3)x．
∵tan∠PAB=((2√(3))/(3)x)/(2x)=(√(3))/(3)，
∴∠PAB=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=√(3)x，PO=(√(3))/(3)x，
∴EF•EP=2√(3)x•(2√(3))/(3)x=4x²
4AO•PO=4×√(3)x•(√(3))/(3)x=4x²．
∴EF•EP=4AO•PO．故④正确．
故选B．