如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．（1）求正方形ABCD的周长；（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG．（3）将正方形AEFG

Question

如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周长；
（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG．
（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M．
①求证：BH⊥DG；
②当AE=√(2)时，求线段BH的长（精确到0.1）．

Answer 1

（1）正方形ABCD的周长=4×4=16；

（2）证明：∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，
∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），
∴∠BAE=∠DAG=θ，
在△BAE和△DAG，

AB＝AD

∠BAE＝∠DAG

AE＝AG

，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；

（3）①证明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠ABE=∠ADG，
又∵∠AMB=∠DMH，
∴∠DHM=∠BAM=90°，
∴BH⊥DG；
②连结GE交AD于点N，连结DE，如图，
∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=√(2)，
∴AN=GN=1，
∴DN=4-1=3，
在Rt△DNG中，DG=√(DN2+GN2)=√(10)；
∴BE=√(10)，
∵S_△DEG=(1)/(2)GE•ND=(1)/(2)DG•HE，
∴HE=(6)/(√(10))=(3√(10))/(5)，
∴BH=BE+HE=(3√(10))/(5)+√(10)=(8√(10))/(5)≈5.1．