（2014•白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Question

（2014•白银）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，OE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，

OB＝OD

OE＝OE

BE＝DE

，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=(1)/(2)AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．