已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE•CD．

Question

已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：

（1）△ABE∽△DCA；
（2）BC²=2BE•CD．

Answer 1

证明：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                                （1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                     （1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）
∴∠BAE=∠CDA．                                           （1分）
∴△ABE∽△DCA．                                          （2分）
（2）由△ABE∽△DCA，得(BE)/(AB)＝(AC)/(CD)．                       （2分）
∴BE•CD=AB•AC．                                           （1分）
而AB=AC，BC²=AB²+AC²，
∴BC²=2AB²．                                               （2分）
∴BC²=2BE•CD．                                            （1分）