已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠

Question

已知，点D是△ABC内一点，满足AD=AC
（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如图1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，请判断BD和CD的数量关系（直接写出答案）
（2）如图2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，试证明∠CAD=2∠BAD．

Answer 1

（1）BD和CD的数量关系是BD=CD；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，
∴∠ABC=40°，
∵∠CAD=2∠BAD，
∴∠CAD=40°，∠BAD=20°，
又∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=70°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-30°=10°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=80°-70°=10°，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，连接ED、EA，则四边形AEBC是等腰梯形，
∴AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD=∠ACD，
在△EBD和△ACD中

BE=AC

∠EBD=∠ACD

BD=CD

∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴ED=AD，
∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB，
∴∠EBC=2∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC，
∴∠EAB=∠ABE，
∴BE=AE，
∵AD=AC=EB，
∴EA=ED=AD，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=60°-∠EAB=60°-∠ABC，
∴2∠BAD=120°-2∠ABC=120°-∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠ACB+∠EAC=180°，
∴∠ACB=180°-∠EAC，
∵∠EAC=60°+∠DAC，
∴2∠BAD=120°-（180°-60°-∠DAC）=∠DAC，
∴∠DAC=2∠BAD．