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如图1,在△ABC中,∠C=90°,线段AD,BE是△ABC的两条角平分线,AD与BE相交于点F(1)求证:∠AFE=45°;(2)如图2,过点F作GH⊥BE,GH分别与线段AB,BC相交于点G,H,试判断EF与FH的数量关系,
题目详情
如图1,在△ABC中,∠C=90°,线段AD,BE是△ABC的两条角平分线,AD与BE相交于点F
(1)求证:∠AFE=45°;
(2)如图2,过点F作GH⊥BE,GH分别与线段AB,BC相交于点G,H,试判断EF与FH的数量关系,井说明理由;
(3)如图3,连接DE,点M是线段DE的中点,连接MF,并延长与AB相交于点N,若FM=
,且△DEF的面积为15,求线段FN的长.
(1)求证:∠AFE=45°;
(2)如图2,过点F作GH⊥BE,GH分别与线段AB,BC相交于点G,H,试判断EF与FH的数量关系,井说明理由;
(3)如图3,连接DE,点M是线段DE的中点,连接MF,并延长与AB相交于点N,若FM=
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图1,∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵AD、BE是△ABC的两条角平分线,
∴∠DAB=
∠CAB,∠FBA=
∠CBA,
∴∠DAB+∠FBA=
(∠CAB+∠CBA)=
×90°=45°,
∵∠AFE=∠DAB+∠FBA,
∴∠AFE=45°;
(2)如图2,EF=FH,理由是:
∵∠GFB=∠HFB=90°,BF=BF,∠CBE=∠ABE,
∴△GBF≌△HBF,
∴FH=FG,
由(1)得:∠AFE=45°,
∴∠AFG=90°-45°=45°,
∴∠AFE=∠AFG,
∵∠CAD=∠BAD,AF=AF,
∴△AFE≌△AFG,
∴EF=FG,
∴EF=FH;
(3)如图3,在AB上取两点H、O,使AE=AH,BO=BD,连接FH、FO,
得△AEF≌△AHF,则∠AFH=∠AFE=45°,
同理得:∠BFD=∠BFO=45°,
∴∠HFO=180°-45°-45°-45°=45°,
延长FM至L,使LM=FM,连接EL,
得△EML≌△DMF,则EL=DF,∠LEM=∠FDM,
∵∠BFD=∠FED+∠FDM=45°,
∴∠FED+∠LEM=45°,
即∠LEF=45°,
∴∠LEF=∠HFO=45°,
∵EF=FH,OF=FD=EL,
∴△LEF≌△OFH,
∴∠EFM=∠FHN,
过E作EG⊥MN,交NM的延长线于点G,
∵∠GEF+∠EFG=90°,∠EFG+∠HFN=90°,
∴∠GEF=∠HFN,
∴△EGF≌△FNH,
∴EG=FN,
∵M是DE的中点,
∴S△DEF=2S△EFM=2×
FM•EG=FM•EG=15,
∵FM=
,
∴EG=6,
∴FN=EG=6.
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∵AD、BE是△ABC的两条角平分线,
∴∠DAB=
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∴∠DAB+∠FBA=
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∵∠AFE=∠DAB+∠FBA,
∴∠AFE=45°;
(2)如图2,EF=FH,理由是:
∵∠GFB=∠HFB=90°,BF=BF,∠CBE=∠ABE,
∴△GBF≌△HBF,
∴FH=FG,
由(1)得:∠AFE=45°,
∴∠AFG=90°-45°=45°,
∴∠AFE=∠AFG,
∵∠CAD=∠BAD,AF=AF,
∴△AFE≌△AFG,
∴EF=FG,
∴EF=FH;
(3)如图3,在AB上取两点H、O,使AE=AH,BO=BD,连接FH、FO,
得△AEF≌△AHF,则∠AFH=∠AFE=45°,
同理得:∠BFD=∠BFO=45°,
∴∠HFO=180°-45°-45°-45°=45°,
延长FM至L,使LM=FM,连接EL,
得△EML≌△DMF,则EL=DF,∠LEM=∠FDM,
∵∠BFD=∠FED+∠FDM=45°,
∴∠FED+∠LEM=45°,
即∠LEF=45°,
∴∠LEF=∠HFO=45°,
∵EF=FH,OF=FD=EL,
∴△LEF≌△OFH,
∴∠EFM=∠FHN,
过E作EG⊥MN,交NM的延长线于点G,
∵∠GEF+∠EFG=90°,∠EFG+∠HFN=90°,
∴∠GEF=∠HFN,
∴△EGF≌△FNH,
∴EG=FN,
∵M是DE的中点,
∴S△DEF=2S△EFM=2×
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∵FM=
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∴EG=6,
∴FN=EG=6.
看了如图1,在△ABC中,∠C=9...的网友还看了以下:
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