如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论中正确的结论有．①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C；③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C

Question

如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论中正确的结论有___．
①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C；
③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．

Answer 1

∵∠FDG=∠BOG，∠AGD=∠BGO，
∴∠F=∠OBG，即∠DBE=∠F，故①正确．
∵BO平分∠ABC，BO⊥HF，易证△BHK是等腰三角形，
∴∠BKH=∠BHK，
∵∠BHK=∠C+∠F，
∴∠F=∠BKH-∠C，
显然∠BKH≠∠BAC，故②错误，
∵∠BAF=∠ABC+∠C=2∠EBC+∠C，
∴∠BAF+∠C=2（∠EBC+∠C）=2∠BEF，故③正确，
∵∠BGH+∠DGH=180°，∠DGH+∠DEO=180°，
∴∠BGH=∠DEO=∠EBC+∠C=∠ABE+∠C，故④正确，
故答案为①③④