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在△ABC中,(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=50,BC=60请补全图形,并直接写出△ABP与△BPC面积的比值;(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和A
题目详情
在△ABC中,
(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=50,BC=60请补全图形,并直接写出△ABP与△BPC面积的比值;
(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE,CD与BE 相交于点O,求证:BE=CD;
(3)在(2)的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系.(不需证明)
(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=50,BC=60请补全图形,并直接写出△ABP与△BPC面积的比值;
(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE,CD与BE 相交于点O,求证:BE=CD;
(3)在(2)的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系.(不需证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,作PN⊥BC于N,
又∵BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,
∴PM=PN,
∴S△ABP:S△BPC=(
AB•PM):(
BC•PN)=AB:BC,
∵AB=50,BC=60,
∴△ABP与△BPC面积的比值为
;
(2)证明:如图2,∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,
,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD;
(3)∠AOD与∠AOE的数量关系为:∠AOD=∠AOE.
理由:如图,过点A作AM⊥DC于M,作AN⊥BE于N,
由(2)可得,△DAC≌△BAE,且DC=BE,
∴S△DAC=S△BAE,
即
×CD×AM=
×BE×AN,
∴AM=AN,
∴点A在∠DOE的角平分线上,
∴∠AOD=∠AOE.
又∵BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,
∴PM=PN,
∴S△ABP:S△BPC=(
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∵AB=50,BC=60,
∴△ABP与△BPC面积的比值为
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(2)证明:如图2,∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,
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∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD;
(3)∠AOD与∠AOE的数量关系为:∠AOD=∠AOE.
理由:如图,过点A作AM⊥DC于M,作AN⊥BE于N,
由(2)可得,△DAC≌△BAE,且DC=BE,
∴S△DAC=S△BAE,
即
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∴AM=AN,
∴点A在∠DOE的角平分线上,
∴∠AOD=∠AOE.
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