如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=2FD．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．

（1）求证：AB=CE；
（2）求证：BF+EF=√(2)FD．

Answer 1

证明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，

AD＝CD

∠ADB＝∠CDE

DE＝DB

，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴AB=CE；
（2）如图，在EC上截取EG=BF，
∵△ABD≌△CED，
∴∠B=∠CED，
在△BDF和△EDG中，

EG＝BF

∠B＝∠CED

DE＝DB

，
∴△BDF≌△EDG（SAS），
∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，
∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴BF+EF=EG+EF=FG=√(2)FD，
故BF+EF=√(2)FD．