（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件

Question

（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE=DF，AE=AF．
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+___=2AF，请加以证明．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN=120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．

Answer 1

（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△ADE和△ADF中，

∠BAD=∠CAD

∠AED=∠AFD=90°

AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF，AE=AF；
（2） AM+AN=2AF；
证明如下：由（1）得DE=DF，
∵∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF，
在△MDE和△NDF中，

∠MDE=∠NDF

DE=DF

∠DEM=∠DFN=90°

，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME=NF，
∴AM+AN=（AE+ME）+（AF-NF）=AE+AF=2AF；
（3）由（2）可知AM+AN=2AC=2×6=12，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵ND∥AB，
∴∠ADN=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠ADN，
∴AN=DN，
在Rt△CDN中，DN=2CN，
∵AC=6，
∴DN=AN=(2)/(1+2)×6=4，
∵∠BAC=60°，∠MDN=120°，
∴∠CDE=∠MDN，
∴DM=DN=4，
∴四边形AMDN的周长=12+4×2=20．