（2014•郴州三模）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．（1）求证：A′D⊥EF；（2）求二面

Question

（2014•郴州三模）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
则A'D⊥A'E，A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF
（2）方法一：连接BD交EF于点G，连接A'G
∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF，
∴点G为EF的中点，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF
∴∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角
由（1）可得A'D⊥A'G，
∴△A'DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝2√(2)，EF＝√(2)，
∴BG＝(√(2))/(2)，DG＝2√(2)−(√(2))/(2)＝(3√(2))/(2)，
又A'D=2
∴A′G＝√(DG2−A′D2)＝

作业帮用户 2017-11-14 举报

问题解析

（1）根据平面图形折叠后的不变量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；
（2）由题意可得BE=BF，DE=DF，连结BD交EF于点G，连接A'G，则可证明∠A'GD为二面角A'-EF-D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了二面角的平面角及其求法，利用空间向量求解是新课标意图的体现，关键是建立正确的空间右手系，此题是中档题．

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