如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）2+n2-8n=-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE=AB，求证：CF

Question

如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n=-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．
（1）求A点的坐标；
（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE；
（3）如图（2），若∠ECF=45°，求证：OF+AE=EF．

Answer 1

（1）点A坐标满足，（m-4）²+n²-8n=-16，
整理得：（m-4）²+（n-4）²=0，
∴m=n=4，
∴点A坐标（4，4）；
（2）∵OF+BE=AB，AE+BE=AB，
∴OF=AE，
∵CE=√(AC2+AE2)，CF=√(OF2+OC2)，AC=CO，
∴CF=CE；
（3）将△ACE顺时针旋转90°，则FG=AE+OF，CG=CE，

∵∠ECF=45°，
∴∠OCF+∠ACE=45°，∴∠GCF=45°，
在△GCF和△ECF中，

CE=CG

∠ECF=∠GCF=45°

CF=CF

，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴FG=EF，
∵FG=AE+OF，
∴EF=AE+OF．