如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC=BC，AB=2A1A=4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D和DC1．（Ⅰ）求证：A1D∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角A1-DC-A为45°，①证明：平面A1C1D⊥平面A1AD

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AC=BC，AB=2A₁A=4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A₁D和DC₁．

（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若二面角A₁-DC-A为45°，
①证明：平面A₁C₁D⊥平面A₁AD；
②求直线A₁A与平面A₁C₁D所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结B1C，∵三棱柱ABC-A1B1C1中A1B1∥AB且A1B1=AB，由平行四边形ABCD得CD∥AB且CD=AB，∴A1B1∥CD且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，A1D∥B1C，∵B1C⊂平面BCC1B1，A1D⊄平面BCC1B1，∴A1D∥平面B...