如图，已知抛物线经过点A（2，0）和B（t，0）（t≥2），与y轴交于点C，直线l：y=x+2t经过点C，交x轴于点D，直线AE交抛物线于点E，且有∠CAE=∠CDO，作CF⊥AE于点F．（1）求∠CDO的度数；（2）

Question

如图，已知抛物线经过点A（2，0）和B（t，0）（t≥2），与y轴交于点C，直线l：y=x+2t经过点C，交x轴于点D，直线AE交抛物线于点E，且有∠CAE=∠CDO，作CF⊥AE于点F．

（1）求∠CDO的度数；
（2）求出点F坐标的表达式（用含t的代数式表示）；
（3）当S_△COD-S_{四边形COAF}=7时，求抛物线解析式；
（4）当以B，C，O三点为顶点的三角形与△CEF相似时，请直接写出t的值．

Answer 1

（1）∵直线l：y=x+2t与y轴点C，交x轴于点D，
∴C（0，2t），D（-2t，0）
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠CDO=∠DCO=45°．
（2）如图1，作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，

∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°，
∴四边形OGFH是矩形
∴∠HFG=90°，
∴∠HFA+∠AFG=90°     
又∵CF⊥AE，
∴∠CFH+∠HFA=90°
∴∠CFH=∠AFG，
又∵∠CAE=∠CDO=45°，
∴∠FCA=45°，
∴CF=AF，
又∵∠FGA=∠CHF=90°，
在△FGA和△FHC中，

∠CHF=∠FGA

∠CFH=∠AFG

CF=AF

∴△FGA≌△FHC，
∴FH=FG，HC=AG，
设F（m，m）
则2t-m=m-2，
得m=t+1，
∴F（t+1，t+1）．
（3）∵S_△COD-S_{四边形COAF}=S_△COD-S_{正方形HOGF}=7
∴(1)/(2)(2t)2-(t+1)2=7，
解得：t=4或-2（舍去），
则A点坐标（2，0），B点坐标（4，0），C点坐标（0，8）
设y=a（x-2）（x-4），
把C（0，8）代入y=a（x-2）（x-4），
解得a=1，
∴y=（x-2）（x-4）=x²-6x+8．
（4）t=3或2．
如图2，作ET⊥HF于T，


求得：E的横坐标是(t2+1)/(t-1)，CH=t-1，FT=(2)/(t-1)，
由△HCF∽△TFE，
则(CH)/(FT)=(CF)/(EF)，
得：((t-1)2)/(2)=(CF)/(EF)
当△OBC∽△FEC时，(OC)/(OB)=(CF)/(EF)=2，
即((t-1)2)/(2)=2，
解得：t=3或t=-1（ 舍去），
当△OBC∽△FCE时，(OB)/(OC)=(CF)/(EF)=(1)/(2)，
即((t-1)2)/(2)=(1)/(2)，
解得：t=2或t=0（舍去）．
∴t=3或2．