若圆O：x2+y2=5与圆O1：（x-m)2+y2=20(m∈R）相较于AB两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是为什么O1A⊥AO2

Question

若圆O：x2+y2=5与圆O1：（x-m)2+y2=20(m∈ R）相较于AB两点,且两圆在点A处的切线互相 垂直,则线段AB的长度是______ 为什么O1A⊥AO2

Answer 1

设圆1的切线为l1,圆1圆心为O1,圆2圆心为O2,因为切线是垂直于过切点的半径的,所以l1垂直于O1A,但是l1同时也垂直于过A的圆2的切线（称为l2）,因此半径O1A必然落在l2上；同理,半径O2A也必然落在直线l1上,故有O1A垂直于O2A.
若⊙O1:x^2+y^2=5①
与⊙O2：（x-m)^2+y^2=20(m∈R)②
相交于A、B两点,
①-②,2mx-m^2=-15,x=(m^2-15)/(2m),③
两圆在点A处的切线互相垂直,
∴O1A⊥O2A,
O1(0,0),O2(m,0）,A（x,y),
向量O1A=(x,y),O2A=(x-m,y),
∴x(x-m)+y^2=0,
把①、③代入上式,得5-（m^2-15)/2=0,m=土5.
代入③,x=土1,
代入①,y=土2,
∴|AB|=2-(-2)=4.