利用Roll定理构造函数设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证：(1)存在η∈(0.5,1)使得f(η)=η(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1（这里的η是第一问的

Question

利用Roll定理构造函数
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证：
(1)存在η∈(0.5,1)使得f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1（这里的η是第一问的η）
第一问用介值定理容易证出来,请问第二问怎么证明?
我构造了函数Φ'(ξ)=e^-λξ{f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1}=0,但怎么求积分?

Answer 1

第二问你设g(x)=f(x)-x
就化为了 g'(ξ)-λg(ξ)=0 积分一下就是g(ξ)e^(-λξ) 设为Φ(ξ).Φ(0)=Φ(η)=0,故存在 Φ'(ξ)=0.