设一平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面4x-y+2z=8垂直,则此平面方程为?

Question

设一平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面4x-y+2z=8垂直,则此平面方程为?

Answer 1

因为所求平面过原点,所以平面方程可设为 ax+by+cz=0.
又因为该平面过点(6,-3,2),所以 6a-3b+2c=0 (1)
另一方面,所求平面与已知平面4x-y+2z=8垂直,所以它们的法向量垂直.所求平面的法向量为(a,b,c),已知平面的法向量为(4,-1,2),所以
(a,b,c)(4,-1,2)=4a-b+2c=0 (2)
解方程组(1)(2)可得:b=a,c=-3a/2.
因此所求平面方程为 ax+ay-(3a/2)z=0,即2x+2y-3z=0.