已知空间物体由曲面z=根号（x平方+Y平方）及z=2-x平方-y平方围成,求物体的体积?题目不清楚的话问我48251710求输入的值，使直线L:大括号（上面）X+Y+Z=1（下面）2X+3Y+4Z=-1与平面π:2X-

Question

已知空间物体由曲面 z= 根号（ x平方 +Y 平方 ） 及 z=2- x平方 - y平方 围成,求物体的体积?
题目不清楚的话问我
48251710
求输入的值，使直线L:大括号 （上面） X+Y+Z=1 （下面）2X+3Y+4Z=-1
与平面π:2X-4Y-λZ=1垂直，并求直线L与平面π的交点坐标

Answer 1

高等数学中 的空间计算问题
利用三重积分：
第一个曲面 z=根号(x^2+y^2) 是椎体 顶点在原点(0,0,0),在z>0的空间内.
第二个曲面 z=2-x^2-y^2 是椭圆抛物面,经过了向上的平移,顶点在(0,0,2)
他们之间的空间就是要求的空间:
上顶:z1=2-x^2-y^2
下底:z2=根号(x^2+y^2)
交线:x^2+y^2=1且z=1,是一个圆
观察可知,利用柱面坐标系
x=ρ*cos(φ)
y=ρ*sin(φ)
z=z
带入上顶和下底的方程可得:
z1(x,y)=z1[ρ*cos(φ),ρ*sin(φ)]=2-ρ^2
z2(x,y)=z2[ρ*cos(φ),ρ*sin(φ)]=ρ
则体积元为:dV=ρ*dρ*dφ*dz
求三重积分
∫∫∫dV=∫∫∫ρ*dρ*dφ*dz
先对z积分:ρ 到 2-ρ^2
再对半径ρ:0 到 1
再对角度q积分:0 到 2π
∫∫∫dV=∫∫∫ρ*dρ*dφ*dz
第一次积分 （2-ρ^2-ρ）*ρ
第二次积分 5/12
第三次积分 5/6π
第二题：
第一个平面法向量a=(1,1,1),第二个平面法向量b=(2,3,4)
直线方向向量n1=a×b=(1,-2,1)
平面π 法向量n2,
由直线垂直与平面可得,n1//n2,易得λ=-2
交点在直线和平面π 上,联立直线方程和平面方程,
X+ Y+ Z=1
2X+3Y+4Z=-1
2X-4Y+2Z=1
解得（X,Y,Z）=(29/12,1/6,-19/12)
综上所述：λ=-2,交点（X,Y,Z）=(29/12,1/6,-19/12)