（2014•保定二模）如图1所示，A、B两个小球分别固定在一根轻质的刚性直角杆两端，杆的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，系统可以在竖起平面内自由转动．已知OA=OB=l．mA=4m，mB=3m．开始时

Question

（2014•保定二模）如图1所示，A、B两个小球分别固定在一根轻质的刚性直角杆两端，杆的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，系统可以在竖起平面内自由转动．已知OA=OB=l．m_A=4m，m_B=3m．开始时，OA处于水平位置，由静止释放系统，忽略运动过程中空气阻力，小球均可视为质点．求：
（1）A球从释放到到达最低位置的过程中杆对B球所做的功；
（2）小球A在什么位置速度最大？最大值是多少？
（3）若在A球正下方l处固定光滑小轮O′，将B球卸去，一条不可伸长的足够长轻绳，一端连接在原来B球位置，跨过小轮系一物块C，如图2．初始时绳绷直，由静止释放系统，A球逆时针转动，减速为零时恰好与轻绳接触，则物块C的质量是多大？

Answer 1

（1）设A球在底端时速度为V，从释放到到达最低位置的过程中，A、B球组成的系统机械能守恒，重力势能减少量等于系统的动能增加量：mAgl−mBgl＝(1)/(2)mAv2+(1)/(2)mBv2…①
解得：v＝√((2)/(7)gl)
设在此过程中杆对B球做功W，对B球在此过称中应用动能定理：W−mBgl＝(1)/(2)mBv2…②
由②解得：W＝(24)/(7)mgl
（2）设OA杆转过α角时A球获得速度V′，B球速度大小也为V′，

A、B球系统机械能守恒，由机械能守恒定律：mAglsinα−mBgl(1−cosα)＝(1)/(2)mAv′2+(1)/(2)mBv′2…③
代入数据整理得：v′＝√((2)/(7)gl[5sin(α+β)−3])
其中tanβ＝(3)/(4)，β=37°，α=53°时V′有最大值
所以A球由开始位置转过α=53°时有最大速度：Vm′＝√((4)/(7)gl)
（3）作出A球刚接触细线的状态图，如图示．

作OD垂直O′B′，由几何关系可知OD＝(√(2))/(2)l，OO′＝√(2)l，所以θ=γ=60°
A球下落高度hA：hA＝lsinγ＝(√(3))/(2)l…④
C物块上升高度hB：hB＝√(2)lsinθ+(√(2))/(2)l−l＝(√(6)+√(2)−2)/(2)l…⑤
此过程A、C组成的系统机械能守恒：m_Agh_A=m_Cgh_C…⑥
由④⑤⑥代入数据解得：mC＝(4√(3))/(√(6)+√(2)−2)m
答：（1）A球从释放到到达最低位置的过程中杆对B球所做的功为(24mgl)/(7)
（2）小球A在与水平方向偏角53°时速度最大，最大值是√((4gl)/(7))
（3）物块C的质量是(4√(3))/(√(6)+√(2)−2)m