用n（n+1）/2个不同的数组成一个三角形阵,如下：xxxxxxxxxx---Ni表示第i行最大的数,那么N1〈N2〈N3〈---〈Nn的概率是多少?

Question

用n（n+1）/2 个不同的数组成一个三角形阵,如下：
x
x x
x x x
x x x x
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Ni表示第i行最大的数,那么N1〈N2〈N3〈- - -〈Nn 的概率是多少?

Answer 1

首先考虑把这n（n+1）/2个数分为n组,分好组之后便是分组数乘以1! 2! 3!…………到n!.
设n=k的时候分组有ak种,那么n=k+1时,最大的数必须在最后一行,剩下可以随意挑k个到第k+1行,剩下的k行分组数则为ak
a（k+1）=Ck/[（k+2）（k+1）/2-1]=Ck/[（k+3）k/2]
a1=1
an=1*c1/2*c2/5*c3/9*…………*c（n-1）/[（n+2）（n-1）/2]
则n的 总排列数为1*c1/2*c2/5*c3/9*…………*c（n-1）/[（n+2）（n-1）/2] * 1!*2!*……*n!
=1*A1/2*A2/5*…………*A（n-1）/[（n+2）（n-1）/2]*n!