高中数学中求导部分的知识可以用来解决哪些类型的题型?麻烦详细一点,

Question

高中数学中求导部分的知识可以用来解决哪些类型的题型?麻烦详细一点,

Answer 1

节选一篇文章《高等数学在中学数学的应用》,超详细吧：图片都没了,但可以看个大概.
1 不等式的证明
在研究变化过程中变量之间的相互制约关系时,更多的是不等式的研究,因此从某种意义上来说,对不等式的研究比等式更为常见,也更为重要,但不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,中等数学中经常通过恒等变化,数学归纳法,二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式的证明,为此先要进行恒等变形,这需要较高的技巧.
利用微积分的知识和方法,例如微分中值定理,函数的增减性,极值判定法,定积分的性质等.可简化不等式的证明过程,降低技巧性.
2 恒等式的证明
在中学数学阶段有许多的恒等式的证明都是需要用到一些已经证明的定理和结论去证明.但学了高等数学后,可以发现许多问题的解决可以简化许多.
3 方程根的讨论
导数为研究函数性质提供了强有力的工具,尤其是对函数单调性能进行透彻的分析,并使其过程简化,直观.
4 微分的近似计算
归纳：在中学数学中对于,等一些类似的数,对于他们的最后值等于多少往往都是要查表才能得出结果.但现在就可以运用高等数学中的微分的近似计算知识就可以算出来,不需要去查表了.
5 函数的变化性态及作图
函数的图象以其值、直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候,其作用尤为明显,例如两个看起来很像的函数:,熟悉它们两的图象就知道中学数学的描点作图是不完善的,有许多的不足之处,点取的不够多,也许就会得到一个错误的图象,而如果点取的太多,那将会花费过多的精力,而且仍会担心是否忽略了一些重要的点
利用导数作为工具,就可有效的对函数的增减性,极值点,凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断,从而比较准确地作出函数的图象,一般来说,描绘函数的图象可以按以下的步骤进行:
(1)求函数的定义域.
(2)考察函数的奇偶性,周期性.
(3)求函数的某些特殊点,如与两坐标的交点,不连续点,不可导点等.
(4)确定函数的单调区间,极值点,凸性区间及拐点.
(5)考察渐近线.
(6)根据讨论最后画出函数的图象.
对于上述的（1）,（2）,（3）在中学就可以一一解决,在这里在重点的讲一下如何求函数的单调性、极值点；凹凸性、拐点；渐近线、切线方程.
5.1单调性、极值点
定理：函数单调性的判定法 设函数在上连续,在内可导.
（1） 如果在内,那么在上单调增加.
（2） 如果在内,那么在上单调减少.
注：如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,那么结论也成立.
5.1.1判定函数在上的单调性
因为在内,所以由判定法可知：函数在上的单调增加.
对于极值点的求法在中学只学了极值的必要条件,还有就是极值的第一充分条件.但是这两个定理以前都有所接触,求起来会比较麻烦.在数学分析中学习了极值的第二充分条件后,求起来就简化多了,只需要对其再求一次导即可.它所讲的内容是：
定理（极值的第二充分条件）：设在的某邻域U内一阶可导,在处二阶可导,且.
（i）若,则在取得极大值.
(ii)若,则在取得极小值.
5.1.2求抛物线的极值点
解:因为,所以是稳定点
又,于是当时, 是极小值点；当,是极大值点.
5.2 凹凸性、拐点
定义：设在区间I上连续,如果对I中任意两点,恒有
那么称在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
那么称在I上的图形是（向下）凸的（或凸弧）.
定理：设在上连续,在内具有一阶和二阶导数那么
（1）若在内,则在上的图形是凹的
（2）若在内,则在上的图形是凸的
5.2.1判断曲线的凹凸性
因为,当时,所以曲线在内为凸弧；当时,所以曲线在内为凹弧.
定义：一般地,连续函数上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点,前面已经知道,有,而在的左右两侧邻近异号就是一个拐点.因此,如果在区间内具有二阶导数,就可以按以下的步骤来判定曲线的拐点：
（1）求；
（2）令=0,解出这方程在区间内的实根；
（3）对于（2）解中的每一个实根,检查在左、右两侧邻近的符号,如果在的左、右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点是拐点.当两侧符号相同时,点不是拐点.
5.2.2求曲线的拐点

解方程.当时,；当时,.因此,点是这曲线的拐点.
5.3 渐近线、切线方程
对于渐近线的求法可以参考数学分析上册定理7.9即可,在这里主要讲一下函数切线方程.
5.3.1设M()是椭圆上不是顶点的任一点,求过M()的切线方程.
解:用隐函数求导法得到；所以过M()的切线方程为,进一步整理得.
类似的方法可求得双曲线,抛物线的切线方程.利用导数的几何意义及其符号,还可以方便地判断函数的增减性.
5.3.2描绘函数的图形 .
解（1）所给函数的定义域为.由于所以是偶函数,它的图形关于y轴对称,因此可以只讨论上该函数的图形,求出,
（2）在上,方程的根为；方程=0的根x=1.用点x=1把划分成两个区间[0,1]和.
（3）在（0,1）内,所以在[0,1]上的曲线弧下降而且是凸的.结合以及图形关于y轴对称可知,x=0处函数有极大值.
在内,所以在上的曲线弧下降而且是凹的.
（4）由于所以图形有一条水平的渐近线.
（5）算出,从而得到函数图形上的两点和.又由得 .结合（3）、（4）的讨论,画出在上的图形.最后,利用图形的对称性,便可以得到函数在上的图形.
归纳：由上面的讨论可以对函数的图像及变化性态有着更深一步的认识,运用以上知识不仅可以画出一些中学数学中较特殊的函数图像,而且甚至对不管有多复杂的函数图像都能够较准确地做出.
6 求面积、体积的应用
在中学数学阶段在求面积、体积时都是运用面积公式,体积公式,或者是运用一些面积之差,之和进行求解.但学了定积分以后.同样可以解决,而且变得更加简单了.
6.1求由,和所围成的三角形区域的面积.
6.2 求直线段绕x轴旋转一周所得的锥体体积.
归纳：由6.1这个例题可以知道求三角形的面积是非常简单的,但在中学数学中对于这种类型的解法往往是首先求出其三个直线两两相交的交点坐标,其次求出三角形一边的长度,再次求出另外一点到刚求出那条长度线段的距离,最后再运用三角形面积的计算公式求出.以上就是在中学数学的解法,可想而知是非常复杂的.对比一下就可以知道运用高等数学中微积分的知识在计算直线所围成的图形面积（如三角形,梯形等）都是非常简单的.由6.2这个例题正好推出了中学数学中圆锥体积的计算公式.
7 结束语
伴随着高等数学的产生与发展,它既为其它的学科提供了便利的计算工具和教学方法,又可以将中学数学中许许多多的问题简单化.可想而知,它是多么的重要.所以希望广大的学者一定要好好的学习它,并且得真正的行动起来.