已知数列an的前n项和sn满足sn+1=2Xsn(x是大于零的常熟)且a1=1a3=4求通项公式an.

Question

已知数列an 的前n项和sn满足sn+1=2Xsn (x是大于零的常熟)且a1=1 a3=4 求通项公式an .

Answer 1

s(1)=a(1)=1,
s(n+1)=2xs(n).
{s(n)}是首项为s(1)=1,公比为(2x)的等比数列.
s(n)=(2x)^(n-1),
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=(2x)^(n)-(2x)^(n-1)=(2x-1)(2x)^(n-1),
4=a(3)=a(2+1)=(2x-1)(2x)^(2-1)=(2x-1)(2x)=4x^2-2x,
0=4x^2-2x-4=2(2x^2-x-2),
Delta=1+16=17,
x=[1+(17)^(1/2)]/4或x=[1-(17)^(1/2)]/4 2时,
a(n)={[(17)^(1/2)-1]/2}{[(17)^(1/2)-1]/2}^(n-2)