已知x²-5x+1=0(x≠0),求x³+1/x³RT..过程请说详细、不然可能看不懂..

Question

已知x²-5x+1=0(x≠0),求 x³+1/x³
RT..
过程请说详细、不然可能看不懂..

Answer 1

首先变换第一个等式
x²-5x+1=0(x≠0)
两边同除以x
得到
x-5+1/x=0(x≠0)
x+1/x=5(x≠0) （1）
上式左右平方
(x+1/x)²=5²(x≠0)
得到
x²+2+1/x²=25(x≠0)
x²+1/x²=23(x≠0)
x²-1+1/x²=22(x≠0) （2）
（1）（2）左右对应相乘
(x+1/x)(x²-1+1/x²)=5*22=110
x³+1/x³=110
这里应用了a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
令a=x,b=1/x
就得到
x³+1/x³=(x+1/x)(x²-x/x+1/x²)
=(x+1/x)(x²-1+1/x²)