一个自然数有15个因数,它乘以2006后至少可能有多少个因数?最多可能有多少个因数?

Question

一个自然数有15个因数,它乘以2006后至少可能有多少个因数?最多可能有多少个因数?

Answer 1

以上没一个对的,哎.华罗庚数学学校原题.问题比较复杂,先证明一个引理：一正整数若能分解质因数为：=2^n1*3^n2*5^n3*7^n4*……“^”表示“次方”,那么它的约数有如下多个：(n1+1)*(n2+1)*(n3+1)*……这个引理来自于乘法原理,证明比较不好说清楚,你可以用6、12、15这些数试试,这个引理肯定是对的.回到这个问题,有15个约数,那么分解质因数的形式肯定是：x^2*y^4,因为15只有3?幸恢址纸庑问健O旅娣掷嗵致郏?/p>如果xy都不是2、17、59之中的数,那么因式形式：x^2*y^4*2^1*17^1*59^1,约数总个数：3*5*2*2*2=120.如果x为2、17、59之中的一个,y不是,那么形式（不妨设x=2）：x^3*y^4*17^1*59^1,约数总个数：4*5*2*2=80.如果y为2、17、59之中的一个,x不是,那么形式（不妨设y=2）：x^2*y^5*17^1*59^1,约数总个数：3*6*2*2=72.如果xy都在2、17、59之中,那么形式（不妨设x=2,y=17）：x^3*y^5*59^1,约数总个数：4*6*2=48.综上所述,约数最少为48,最多为120.