PA*|BC|+PB*|AC|+PC*|AB|=0,以上都是向量,求证P是三角形内心,向量符号可以省.RT

Question

PA*|BC|+PB*|AC|+PC*|AB|=0,以上都是向量,求证P是三角形内心,向量符号可以省.
RT

Answer 1

设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为P.
为了方便书写,记|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c
原式=aPA+bPB+cPC
=aPA+b(AB+PA)+c(AC+PA)
=(a+b+c)PA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0
故只需证aPA+(b+c)PD=0
又因为PA、PD反向,故只需证|PA|/|PD|=(b+c)/a
再次用到角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=b+c/CD+BD=(b+c)/a
所以b/CD=PA/PD=(b+c)/a
故aPA+bPB+cPC=0