假设一个游戏赢钱的概率是百分之五十,你有N块钱,只要赢到N+1块（也就是在本金上赢一块）就可以了,每次只能压一块,次数不限,本金到零游戏结束,问,N最小是多少才能保证赢到一元的概率在

Question

假设一个游戏赢钱的概率是百分之五十,你有N块钱,只要赢到N+1块（也就是在本金上赢一块）就可以了,每次只能压一块,次数不限,本金到零游戏结束,问,N最小是多少才能保证赢到一元的概率在百分之九十九以上?
从1块钱赢到N+2块钱的概率等于从N+1块钱输到0块钱的概率?
一块钱不能向左波动（减一块本金就成零了）,但N+1块却可以向右波动（赢多少都没关系,还可以再输到零）,所以这两个都不相等,方案一貌似错了,方案二不太懂,不好意思啊,

Answer 1

设游戏次数趋于无穷时从N块钱赢到N+1块的概率为p(N),从N块钱输到0块钱的概率为p(N‘),此时有p(N)+p(N’)=1.
本金为N+1时,p(N‘)可以理解为从N+1输到1块钱的概率.此时从1块钱赢到N+2块钱的概率等于从N+1块钱输到0块钱的概率即p(N+1’).故有p(N+1)=p(N)+p(N‘)*p(N+1’)=p(N)+(1-(p(N))*(1-(p(N+1)).化简后得p(N+1)=1/(2-p(N)).易知p(1)=1/2,故p(N)=N/(N+1).
要保证赢的概率在百分之九十九以上,N最小为100.
睡醒了又想到一个方法.
还是设游戏次数趋于无穷时从N块钱赢到N+1块的概率为p(N),从N块钱输到0块钱的概率为p(N‘),此时有p(N)+p(N')=1.
因为每次游戏输赢的概率都是百分之五十,所以每次游戏收益的期望都是0.也就是说无论进行多少次游戏总财产的期望都是N.所以有(N+1)*p(N)+0*p(N')=N,故p(N)=N/(N+1).
难道你的题的意思不是赢到N+1块钱游戏也结束吗.是的话那两个概率就是相等的,即0块钱的状态和N+1块钱的状态都代表游戏结束.
方法2的中心思想就是每一次游戏输赢概率都是1/2,且输赢收益都是1,所以收益期望E=1*1/2+(-1)*1/2=0,也就是说每一次游戏后剩余的钱数的期望都还是N.又知游戏次数趋于无穷时只有剩余钱数等于0或N+1两种情况,所以有(N+1)*p(N)+0*p(N')=N.