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如图,△ABD和△BCD都是等边三角形,E、F、O分别是AD、BD、AC的中点,G是OC的中点;(1)求证:BD⊥FG;(2)求证:FG∥平面BOE.
题目详情
如图,△ABD和△BCD都是等边三角形,E、F、O分别是AD、BD、AC的中点,G是OC的中点;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/960a304e251f95ca600aa304ca177f3e66095280.jpg)
(1)求证:BD⊥FG;
(2)求证:FG∥平面BOE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/960a304e251f95ca600aa304ca177f3e66095280.jpg)
(1)求证:BD⊥FG;
(2)求证:FG∥平面BOE.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接AF和CF,因为F为BD的中点,△ABD和△BCD都是等边三角形,
所以BD⊥AF,BD⊥CF,
又AF∩CF=F,
所以BD⊥平面AFC,
又FG⊂平面AFC,
所以BD⊥FG.
(2)设BE和AF交于点H,连接OH,
在等边三角形△ABD中,E、F分别是AD、BD的中点,
所以H为重心,
=
,
又O为AC中点,G是OC的中点,
所以
=
,
在三角形AFG中,
=
=
,
所以HO∥FG,
又FG∉平面BOE,HO⊂平面BOE,
所以FG∥平面BOE.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a7867ad57bbc6409c93d71cf5080.jpg)
所以BD⊥AF,BD⊥CF,
又AF∩CF=F,
所以BD⊥平面AFC,
又FG⊂平面AFC,
所以BD⊥FG.
(2)设BE和AF交于点H,连接OH,
在等边三角形△ABD中,E、F分别是AD、BD的中点,
所以H为重心,
AH |
AF |
2 |
3 |
又O为AC中点,G是OC的中点,
所以
AO |
AG |
2 |
3 |
在三角形AFG中,
AH |
AF |
2 |
3 |
AO |
AG |
所以HO∥FG,
又FG∉平面BOE,HO⊂平面BOE,
所以FG∥平面BOE.
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