如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中点；（1）求证：BD⊥FG；（2）求证：FG∥平面BOE．

Question

如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中点；

（1）求证：BD⊥FG；
（2）求证：FG∥平面BOE．

Answer 1

证明：（1）连接AF和CF，因为F为BD的中点，△ABD和△BCD都是等边三角形，
所以BD⊥AF，BD⊥CF，
又AF∩CF=F，
所以BD⊥平面AFC，
又FG⊂平面AFC，
所以BD⊥FG．
（2）设BE和AF交于点H，连接OH，
在等边三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，
所以H为重心，(AH)/(AF)=(2)/(3)，
又O为AC中点，G是OC的中点，
所以(AO)/(AG)=(2)/(3)，
在三角形AFG中，(AH)/(AF)=(2)/(3)=(AO)/(AG)，
所以HO∥FG，
又FG∉平面BOE，HO⊂平面BOE，
所以FG∥平面BOE．