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如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c83d70cf3bc79f3da84cbfccb9a1cd11738b2998.jpg)
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
又∵∠ADE=45°,
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.
∴∠EDC=∠BAD.
∴△ABD∽△DCE.
(2)讨论:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意.
②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,
于是AB=AC=2,BC=2
,AE=AC-EC=2-BD=2-(2
-2)=4-2
③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,
如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=
AC=1.
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∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
又∵∠ADE=45°,
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.
∴∠EDC=∠BAD.
∴△ABD∽△DCE.
(2)讨论:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意.
②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,
于是AB=AC=2,BC=2
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③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,
如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=
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