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已知:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.求证:AC-AB=2BE.
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已知:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.
求证:AC-AB=2BE.
求证:AC-AB=2BE.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长BE交AC于M
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中,
∵∠1+∠3+∠AEB=180°,
∴∠3=90°-∠1
同理,∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∴AB=AM
∵BE⊥AE,
∴BM=2BE,
∴AC-AB=AC-AM=CM,
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C,∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中,
∵∠1+∠3+∠AEB=180°,
∴∠3=90°-∠1
同理,∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∴AB=AM
∵BE⊥AE,
∴BM=2BE,
∴AC-AB=AC-AM=CM,
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C,∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE
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