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在平行四边形ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交与F,求证:EF=AB-BC.
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在平行四边形ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交与F,求证:EF=AB-BC.
▼优质解答
答案和解析
你可以这样:过点E作EG‖BF ∴∠ABF=∠AGE
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠BAD+∠ADC=180°,∠CBA+∠BDA=180°
∵AE、DE、BF为角平分线 ∴ADE+EAD=90°,∠BAE+∠ABF=90°
∴∠BAE+∠AGE=90°
∴∠DEA=∠AEG=90° ∴∠AEG+∠DEA=180°
∴D、E、G三点共线 并且AE为三角形ADG的垂线
又∵AE为三角形ADG的角平分线 ∴三角形ADG为等腰三角形 AD=AG=BC
同理 延长BF交CD于点H后,三角形BCH为等腰三角形 BC=CH CH为垂直平分线
∴EG=DE=DG/2 BF=FH=BH/2
很容易可以证明三角形ADG与三角形BCH相似 DG=BH
∴BF=EG
又BF‖EG ∴四边形BFEG为平行四边形
∴BG=EF
∴EF=BG=AB-AG=AB-BC
∴EF+BC=AB
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠BAD+∠ADC=180°,∠CBA+∠BDA=180°
∵AE、DE、BF为角平分线 ∴ADE+EAD=90°,∠BAE+∠ABF=90°
∴∠BAE+∠AGE=90°
∴∠DEA=∠AEG=90° ∴∠AEG+∠DEA=180°
∴D、E、G三点共线 并且AE为三角形ADG的垂线
又∵AE为三角形ADG的角平分线 ∴三角形ADG为等腰三角形 AD=AG=BC
同理 延长BF交CD于点H后,三角形BCH为等腰三角形 BC=CH CH为垂直平分线
∴EG=DE=DG/2 BF=FH=BH/2
很容易可以证明三角形ADG与三角形BCH相似 DG=BH
∴BF=EG
又BF‖EG ∴四边形BFEG为平行四边形
∴BG=EF
∴EF=BG=AB-AG=AB-BC
∴EF+BC=AB
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