已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°DC=DE,F为BE的中点,求证:FA=FD,且FA⊥FD

Question

已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°DC=DE,F为BE的中点,求证:FA=FD,且FA⊥FD

Answer 1

由于你没附图,一般初中的题应该A、C、D三点共线,如上左图.
由F为BE中点,最直接的做法是,将△DEF绕F点旋转180°,E与B重合,D到D'位置,
旋转后,D、F、D'三点共线,△D'BF≌△DEF
由∠DEF=∠D'BF,∠DEF与∠ABF互补,故∠D'BF与∠ABF互补,A、B、D'共线

由AD=AC+CD=AB+BD'=AD',∠BAC=90°,得△ADD'是等腰直角三角形
由DF=FD',得AF是等腰RT△ADD'斜边上的中线,故AF=DF,且AF⊥DF.


如果题目中A、C、D三点不共线,如上右图,证明过程要稍微麻烦点,但思路一样,
其间需增加证明△ACD≌△ABD',最终也得到△ADD'是等腰RT△,AF是其斜边上的中线.
中间可能的困难点是证∠ACD=∠ABD’,可由以下得到：
∠ACD=45°+∠BCE+45°=90°+∠BCE
∠ABD‘=360°-45°-∠FBD'-∠CBF=360°-45°-(∠FED+∠CBF)=360°-45°-(45°+∠FEC+∠CBE)

           =360°-45°-(45°+180°-∠BCE)=90°+∠BCE
具体过程与前面的证明过程类似,略了,有问题再问.