已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABD和△APE，连接DE并延长交BP于点F．（1）如图（1）所示：当∠APB=30°时，DFBF（请用“

Question

已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABD和△APE，连接DE并延长交BP于点F．
（1）如图（1）所示：当∠APB=30°时，DF______BF（请用“＞”“=”或“＜”填空）
（2）当∠APB≠30°时，其余条件均不变，请画出相应的图形；
（3）请结合所画出的图形，分析（1）的结论还成立吗？如果成立请证明；如果不成立请写出新的结论并证明．

Answer 1

（1）DF=BF，
理由是：连接AF，
∵∠APB=30°，∠ABP=90°，
∴AB=(1)/(2)AP，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=DP，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AF=AF，AB=AD，由勾股定理得：BF=DF，
故答案为：=．


（2）如图：

（3）成立，
证明：∵∠BAP=∠BAD+∠DAP=60°+∠DAP，
∠EAD=∠EAP+∠DAP=60°+∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD，
在△ABP和△AED中

AB＝AD

∠BAP＝∠EAD

AP＝AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF；
如图（2）
证明：∵∠BAP=∠BAD-∠DAP=60°-∠DAP，
∠EAD=∠EAP-∠DAP=60°-∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD．             
在△ABP和△AED中

AB＝AD

∠BAP＝∠EAD

AP＝AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF．