三角形ABC中,G是AC的中点,D.E.F是BC边上的四等分点,AD与BG交与M,AF与BG交与N,已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,三角形ABC的面积是多少厘米?

Question

三角形ABC中,G是AC的中点,D.E.F是BC边上的四等分点,AD与BG交与M,AF与BG交与N,已知ABM的面积比四边形
FCGN的面积大7.2平方厘米,三角形ABC的面积是多少厘米?

Answer 1

过F作FH∥BG交AC于H.
显然有：CF＝（1/4）CB,∴S(△AFC)＝（1/4）S(△ABC).
又FH∥BG,∴△CFH∽△CBG,∴S(△CFH)/S(△CBG)＝（CF/CB）^2＝（1/4）^2＝1/16,
而AG＝CG,∴S(△CBG)＝（1/2）S(△ABC),∴S(△CFH)＝（1/32）S(△ABC).
∵△CFH∽△CBG,∴CH/CG＝CF/CB＝1/4,∴CH＝（1/4）CG＝（1/8）AC,
∴AH＝AC－CH＝AC－（1/8）AC＝（7/8）AC,
∴AG/AH＝（1/2）AC/［（7/8）AC］＝1/（7/4）＝4/7.
∵NG∥FH,∴△ANG∽△AFH,∴S(△ANG)/S(△AFH)＝（AG/AH）^2＝（4/7）^2＝16/49,
∴S(△ANG)
＝（16/49）S(△AFH)＝（16/49）［S(△AFC)－S(△CFH)］
＝（16/49）［（1/4）S(△ABC)－（1/32）S(△ABC)］＝（16/49）×（7/32）S(△ABC)
＝（1/14）S(△ABC).
∴S(四边形FCGN)
＝S(△AFC)－S(△ANG)＝（1/4）S(△ABC)－（1/14）S(△ABC)＝（3/7）S(△ABC).
过D作DJ∥CA交BG于J.
显然有：BD＝（1/4）BC,∴S(△ABD)＝（1/4）S(△ABC).
∵DJ∥CG,∴△BDJ∽△BCG,∴S(△BDJ)/S(△BCG)＝（BD/BC）^2＝（1/4）^2＝1/16,
∵AG＝CG,∴S(△BCG)＝（1/2）S(△ABC),∴S(△BDJ)＝（1/32）S(△ABC).
∵△BDJ∽△BCG,∴DJ/CG＝BD/BC＝1/4,∴DJ＝（1/4）CG＝（1/4）AG.
∵DJ∥GA,∴△MDJ∽△MAC,∴S(△MDJ)/S(△MAC)＝（DJ/AG）^2＝1/16,
∴S(△MDJ)＝（1/16）S(△MAG),
∴S(△BDM)＝S(△BDJ)＋S(△MDJ)＝（1/32）S(△ABC)＋（1/16）S(△MAG),
∴S(△ABM)
＝S(△ABD)－S(△BDM)＝（1/4）S(△ABC)－［（1/32）S(△ABC)＋（1/16）S(△MAG)］
＝（7/32）S(△ABC)－（1/16）S(△MAG).
又S(△ABM)＝S(△ABG)－S(△MAG)＝（1/2）S(△ABC)－S(△MAG),
∴（7/32）S(△ABC)－（1/16）S(△MAG)＝（1/2）S(△ABC)－S(△MAG),
∴S(△MAG)－（1/16）S(△MAG)＝（1/2）S(△ABC)－（7/32）S(△ABC),
∴（15/16）S(△MAG)＝（9/32）S(△ABC),
∴S(△MAG)＝（3/10）S(△ABC),
∴S(△ABM)＝S(△ABG)－S(△MAG)＝S(△ABG)－（3/10）S(△ABC)＝（7/10）S(△ABC).
依题意,有：S(△ABM)－S(四边形FCGN)＝7.2,
∴（7/10）S(△ABC)－（3/7）S(△ABC)＝7.2,∴［（49－30）/70］S(△ABC)＝7.2,
∴（19/70）S(△ABC)＝7.2,∴S(△ABC)＝（72/19）（平方厘米）.