（2013•平顶山三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）求证：△ABG∽△BFE；（2

Question

（2013•平顶山三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）求证：△ABG∽△BFE；
（2）当四边形EFCD为平行四边形时，若设AD=a，AB=b，BC=c
①求a、b、c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，则∠C=______度（无需书写过程）．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE；

（2）①∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴(AD)/(DB)=(DB)/(CB)，
即(a)/(√(a2+b2))=(√(a2+b2))/(c)，
∴a²+b²=ac；

②解关于a的一元二次方程a²-ac+2²=0，得：
a₁=(c+√(c2−16))/(2)，a₂=(c−√(c2−16))/(2)
由题意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；