如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．求证：（1）△ABG≌△AFG；（2）AG∥CF．

Question

如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
求证：（1）△ABG≌△AFG；
（2）AG∥CF．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AG=AG

AB=AF

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
（2）∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设正方形ABCD的边长为6，BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴（6-x）²+4²=（x+2）²
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AG∥CF．