如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为．

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为___．

Answer 1

①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB
∴A'A=A'B
由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP
∴△ABA'是等边三角形
∴∠ABP=30°
∴AP=(AB)/(√(3))=(2)/(√(3))=(2)/(3)√(3)；

②如图，当A'D=DC时，A'D=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'D=2+2=4
连接BD，则Rt△ABD中，BD=√(AB2+AD2)=√(22+42)=2√(5)
∴A'B+A'D<BD（不合题意）
故这种情况不存在；

③如图，当CD=CA'时，CA'=2
由折叠得，A'B=AB=2
∴A'B+A'C=2+2=4
∴点A'落在BC上的中点处
此时，∠ABP=(1)/(2)∠ABA'=45°
∴AP=AB=2．
综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为(2)/(3)√(3)或2．