如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，交边DC于F，连接AE，CE．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）求∠ECF的度数；（3）若∠

Question

如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，交边DC于F，连接AE，CE．

（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）若∠APB=75°，PC=2，求S_△APE．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠EPC，
∴△ABP∽△PCF；
（2）如图1，过点E作EG⊥BC，垂足为G．
在△ABP和△PGE中，

∠BAP=∠EPG

∠ABP=∠EGP

AP=PE

．
∴△ABP≌△PGE，
∴BP=EG，PG=AB，
∵AB=BC，
∴BC=PG，
∴BC-PC=PG-PC，即BP=CG，
∴CG=EG，
又∵∠EGC=90°，
∴∠ECG=45°，
∴∠ECF=45°；
（3）如图2，连接AC，过C作CH⊥AP交AP的延长线于H，
设PB=x，则AB=BC=x+2，
∴AC=√(2)（x+2），
∵∠BAP=15°，∠BAC=45°，
∴∠PAC=30°，
∴CH=(1)/(2)AC=(√(2)(x+2))/(2)，
∵∠B=∠H=90°，∠APB=∠CPH，
∴△ABP∽△CHP，
∴(CH)/(AB)=(PC)/(AP)，即((√(2)(x+2))/(2))/(x+2)=(2)/(AP)，
∴AP=2√(2)，
∴S_△APE=(1)/(2)×2√(2)×2√(2)=4．